Спустя 3 часа 18 минут 31 секунду после старта, 23 июля 2020 года в 20:44 мск, транспортный грузовой корабль "Прогресс МС-15" в штатном режиме пристыковался к стыковочному отсеку "Пирс" российского сегмента Международной космической станции. Тем самым, грузовой корабль "Прогресс МС-15" поставил новый рекорд по времени полета к МКС. Операции по причаливанию и стыковке проводились в автоматическом режиме под контролем специалистов Центра управления полетами ЦНИИмаш (входит в Госкорпорацию "Роскосмос") и российских членов экипажа МКС-63, космонавтов Роскосмоса Анатолия Иванишина и Ивана Вагнера.

Ранее в 17:26:21 мск со стартового комплекса площадки № 31 космодрома Байконур стартовыми расчетами предприятий Госкорпорации "Роскосмос" произведен успешный пуск ракеты-носителя "Союз-2.1а", которая спустя 529 секунд вывела грузовой корабль "Прогресс МС-15" на орбиту искусственного спутника Земли. Операции по сближению и стыковке с МКС проводились по двухвитковой схеме.

Космический "грузовик" доставил на станцию грузы суммарной массой более 2,5 т, необходимые для поддержания полёта МКС в пилотируемом режиме и реализации программы научно-прикладных исследований на её борту. По завершении необходимых проверок герметичности стыка космонавты Роскосмоса Анатолий Иванишин и Иван Вагнер откроют переходные люки и выполнят заключительные операции по демонтажу стыковочного механизма, переводу системы электропитания "Прогресса" на объединённое питание и консервации корабля.